Teorema: I poliedri regolari sono soltanto cinque: tetraedro, ottaedro, icosaedro, esaedro (cubo), dodecaedro.

Dimostrazione.

Esistono infiniti tipi di poligoni regolari, tanti quanti sono i lati che si vogliono considerare. Dimostriamo che l'esistenza per i poliedri regolari è limitata solo cinque. Il ragionamento si basa sul fatto che le facce di ogni angoloide di un poliedro devono essere almeno tre, che la loro somma deve essere minore di 360° e dalla lettura della tabella sottostante:

Tipo delle facce concorrenti in ciascun vertice (poligono regolare)	Ampiezza di una faccia dell’angoloide	Numero facce concorrenti in ciascun vertice n>2	Somma delle facce dell’angoloide (<360°)	Possibilità dell’esistenza e il nome
Triangolo equilatero	60°	3	180°	Si tetraedro
Triangolo equilatero	60°	4	240°	Si ottaedro
Triangolo equilatero	60°	5	300°	Si icosaedro
Triangolo equilatero	60°	6	360°	No
Quadrato	90°	3	270°	Si esaedro o cubo
Quadrato	90°	4	360°	No
Pentagono regolare	108°	3	324°	Si dodecaedro
Pentagono regolare	108°	4	432°	No
Esagono regolare	120°	3	360°	No
6 o più lati	120° o più	3 o più	…	No

Il nome di ciascun solido deriva dal greco tenendo presente il numero delle facce che lo compone. Osserviamo la tabella che indica per ciascun solido il nome, il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce:

Nome	Vertici	Spigoli	Facce
Tetraedro	4	6	4
Ottaedro	6	12	8
Icosaedro	12	30	20
Esaedro o cubo	8	12	6
Dodecaedro	20	30	12

Esiste un legame tra il numero dei vertici, spigoli e facce. Tale legge viene chiamata  formula di Eulero per i poliedri, la cui dimostrazione rigorosa fu fatta da Cauchy [1760;1848] a soli venti anni.

Siano v, s e f ,rispettivamente, il numero di vertici, degli spigoli e delle facce di un poliedro ( anche non regolare) allora vale la seguente relazione:

                 f+v=s+2